Коротко и по сути.
1) Что такое «отношение» формально
- В семантике предикатной логики n-арное отношение на множестве D — это просто подмножество декартова произведения D^n (набор упорядоченных n‑тупл). Например, отношение «меньше» на целых — множество упорядоченных пар {(a,b) ∈ Z×Z | a<b}.
2) Предикатный символ и его интерпретация
- В формальном языке есть предикатный символ (например, R, <, P). В конкретной структуре этому символу даётся интерпретация — некоторое отношение (подмножество D^n).
- Атомная формула R(x,y) — синтаксическая единица; её истинностное значение определяется относительно структуры и задания значений переменных (обозначим назначение ρ). Формула R(x,y) истинна при ρ тогда и только тогда, когда кортеж (ρ(x),ρ(y)) принадлежит интерпретации R.
3) Можно ли говорить, что отношение «выдаёт» значение?
- Да и нет. Два эквивалентных взгляда:
- Множество: отношение — это просто набор кортежей; проверка принадлежности (ρ(x),ρ(y)) ∈ R даёт ответ «истина/ложь».
- Характеристическая булева функция: отношение можно отождествить с функцией χ_R: D^n → {0,1} (или {false,true}), где χ_R(t)=1 тогда и только тогда, когда t∈R. Этот взгляд часто удобен формально.
- Поэтому корректно говорить, что предикат «возвращает» истину или ложь для конкретных аргументов (в смысле проверки по интерпретации). Но более точная формулировка: атом R(x,y) истинна или ложна в зависимости от того, принадлежит ли соответствующий кортеж отношению, а не что само отношение «генерирует» значение в программном смысле.
4) Важное различие: синтаксис ↔ семантика
- Символ R в языке сам по себе — только имя. Конкретное отношение — часть структуры (семантики).
- Без структуры и без назначения переменных формула R(x,y) не имеет определённого истинностного значения (она — открытая формула). С кванторами (∃x R(x,y)) мы уже говорим о существовании элементов, а не об «существовании отношения» — существование отношения как такого было бы вопросом второго порядка (квантор по отношениям).
Короткий ответ на ваш вопрос:
- Неправильно говорить, что отношение «существует» в смысле, что R(x,y) отвечает на вопрос «существует ли такое отношение». Правильнее: отношение — это подмножество D^n (или его характеристическая булева функция), а атом R(x,y) является высказыванием, которое истинно тогда и только тогда, когда соответствующий кортеж элементов принадлежит этому множеству.