Существует ли более краткий способ доказать этот факт?

Question

NovaNomad

математика

Существует ли более краткий способ доказать этот факт?

Я задался вопросом: почему в системах уравнений допустимо подставлять переменные? Это действие кажется довольно естественным еще со школьных времен, однако я не смог сразу найти на него ответ. Поэтому решил рассмотреть это более формально. 

Рассмотрим следующую систему уравнений (для удобства ссылаться будем по номерам): 
1. \( f(x,y) = 0 \) (уравнение №1) 
2. \( g(x,y) = 0 \) (уравнение №2)

1. Предположим, что из уравнения №1 нам удалось явным образом выразить \( x \) как \( f'(y) \). 
2. Подставив это выражение в уравнение №2, получаем \( g(f'(y), y) = 0 \). 
3. Найдем все корни уравнения \( g(f'(y), y) = 0 \) и обозначим их как \( Y = \{y_0, y_1, \ldots, y_k\} \). 
4. Для каждого \( y_i \) из множества \( Y \ вычислим соответствующее \( x_j \) по формуле \( x = f'(y) \), получив пары \( XY = \{(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_l, y_k)\} \). Это некоторые решения для исходной системы уравнений. 
5. В уравнении \( g(f'(y), y) = 0 \) заменим \( f'(y) \) на параметр \( x_0 \) (что возможно, так как мы нашли в пункте 4 такие \( x_i \), что \( f'(y_j) \) будет равно некоторому \( x_j \)), а \( y \) заменим на параметр \( y_0 \). В результате получаем параметрическое уравнение функции \( g() \) с параметрами \( x_0 \) и \( y_0 \). Это уравнение имеет решение для любой пары из \( XY \), поскольку \( g(f'(y), y) \) имела решения для компонентов \( y_i \), а \( x_i \), на который мы заменили \( f'(y) \), является просто значением \( f'(y_j) \). Здесь следует сделать очевидное замечание, что данное параметрическое уравнение \( g(x_0, y_0) \) совпадает с уравнением №2, а значит, оно разрешимо для всех пар \( XY \). Следовательно, уравнение №1 также разрешимо для всех пар \( XY \) (что мы выяснили в пункте 4), и это означает, что мы нашли некоторые решения исходной системы. 
6. Теперь, допустим, что мы не нашли некоторый корень системы. Тогда существует такое \( y_i \), которое при подстановке в \( x = f'(y) \) даст \( x_j \) (т.е. \( x_j = f'(y_i) \)). В этом случае можно записать уравнение №2 как \( g(f'(y), y) \) (аналогично рассуждениям в пункте 5). Мы получим \( g(f'(y_i), y_i) = 0 \), но в пункте 3 были найдены все корни уравнения №2. Это приведет к противоречию. Таким образом, в пункте 5 были найдены некоторые решения исходной системы.

27 февраля 2025 г. 9:44

Ответы на вопрос 2

Похожие вопросы

Answer 1

Ваше доказательство подстановки переменных в систему уравнений формально уже довольно обоснованно и логично структурировано, однако оно может быть упрощено. Я предложу более краткую версию, используя некоторые классические концепции из теории систем уравнений.

### Упрощенное Доказательство

Рассмотрим систему уравнений:

1. \( f(x, y) = 0 \) (уравнение №1)
2. \( g(x, y) = 0 \) (уравнение №2)

Предположим, что из уравнения №1 мы можем выразить \( x \) как функцию от \( y \), т.е. \( x = f'(y) \).

1. Подставим эту функцию в уравнение №2: \( g(f'(y), y) = 0 \).
2. Если мы найдем все корни уравнения \( g(f'(y), y) = 0 \), обозначив их как \( y_i \), то для каждого такого \( y_i \) сможем получить соответствующий \( x_i = f'(y_i) \).

Таким образом, пары \((x_i, y_i)\) будут являться решениями исходной системы \( (f(x, y) = 0, g(x, y) = 0) \).

### Обоснование корректности подстановки
Основное обоснование того, что такое выражение для \( x \) допустимо, заключается в том, что подстановка не нарушает условий, заданных в исходных уравнениях. Если \( y_i \) удовлетворяет уравнению \( g(x, y) \), подстановка \( x = f'(y) \) в \( g \) не изменит существующие решения, так как \( f'(y) \) был выражен через \( y \) согласно уравнению №1.

### Вывод
Таким образом, если \( g(f'(y_i), y_i) = 0 \) для искомых \( y_i \), мы имеем полное множество решений для исходной системы, и это доказательство удовлетворяет требованию о подстановке переменных в системы уравнений.

Такой подход менее формален и более прям, исключая излагивание многих шагов, которые можно было бы считать тривиальными или самоочевидными в контексте работы с функциями и подстановками.

Answer 2

После пункта 4 вам надо лишь доказать, что найденные xi yi будут всеми решениями системы. Допустим есть какое-то еще решение {x' y'} не среди xi, yi. Но, раз оно удовлетворяет f(x',y')=0, то x'=f'(y'). Еще оно удовлетворяет g(x',y')=0, а значит и g(f(y'),y') = 0, т.е. вы бы это y' нашли среди ваших yi, но мы предположили обратное.