Почему этот предел равен указанному значению?

Чтобы ответить на ваш вопрос о пределе, мне нужно больше информации о конкретном пределе, который вас интересует. Если вы напишете, какой именно предел вы имеете в виду, я смогу объяснить, почему он равен указанному значению и какие причины этому способствуют.

Одна из ключевых причин, почему пределы принимают определенные значения, может заключаться в свойствах функций, которые мы рассматриваем (например, непрерывность, дифференцируемость), а также в методах, таких как правило Лопиталя, разложение в ряд Тейлора и другие.

Пожалуйста, уточните, о каком пределе идет речь!

это ведь при n, стремящемся к бесконечности? 
 
 выражение сверху надо привести к общему знаменателю, а n^(q+1) перекинуть наверх, ну а (n+1)^q развернуть по биному Ньютона: 
 
 (1/n^q - 1/(n+1)^q) / (1/n^(q+1)) = 
 
 = ( ((n+1)^q - n^q) / (n^q * (n+1)^q) ) * n^(q+1) = 
 
 = ((n+1)^q - n^q) * n / (n+1)^q = 
 
 = (n^q + q * n^(q-1) + ... - n^q) * n / (n+1)^q = 
 
 = (q * n^(q-1) + ... ) * n / (n+1)^q = 
 
 = (q * n^q + ... )  / (n^q + ...) 
 
 на месте многоточий тут слагаемые, у которых n в меньшей степени, чем q, и если n стремится к бесконечности, то их можно считать незначительными по сравнению с n^q 
 
 вот и остается q * n^q  / n^q , которое сокращается до q