Рассмотрим последовательность \( a_n = \frac{1}{n} \). Эта последовательность стремится к нулю, но для демонстрации сгруппированных подпоследовательностей можно воспользоваться их частями.
Мы можем сгруппировать члены последовательности так, чтобы получить разные суммы. Например, мы можем рассмотреть следующую ситуацию:
Для любого \( A \in \mathbb{R} \) мы можем рассмотреть последовательность, в которой члены группируются таким образом, чтобы их сумма стремилась к \( A \). Сформулируем это следующим образом:
1. Рассматриваем последовательность:
\[
a_n = \frac{(-1)^n}{n}.
\]
Эта последовательность чередуется и ведёт себя следующим образом:
- Для четных \( n \): \( a_2 = -\frac{1}{2}, a_4 = \frac{1}{4}, a_6 = -\frac{1}{6}, ... \)
- Для нечетных \( n \): \( a_1 = 1, a_3 = -\frac{1}{3}, a_5 = \frac{1}{5}, ... \)
2. Теперь, используя свойства ряда, мы можем взять определенные подпоследовательности, сгруппировав их, как, например:
\[
S_{N} = a_1 + (a_2 + a_3) + (a_4 + a_5 + a_6) + \ldots
\]
Эту сумму можно сконструировать таким образом, чтобы она сходилась к любому заданному значению \( A \), путем специфической расстановки скобок.
Таким образом, для любого \( A \in \mathbb{R} \) можно взять такие группы, что:
- Каждая группа будет иметь положительную или отрицательную природу, и их суммы будут варьироваться вокруг \( A \), обеспечивая добавление новых групп, чтобы приближаться к нужному значению.
Итак, мы можем сказать, что для данной последовательности можно подобрать расстановку скобок таким образом, чтобы итоговая сумма стремилась к любому значению \( A \), что и соответствует заданному условию.