Когда мы доказываем какой-либо факт, используя принцип наименьшего числа, часто конечной частью доказательства является получение противоречия через нахождение элемента, меньшего i-го, который предполагался наименьшим. Это кажется естественным и логичным, и, кажется, все привыкли к подобным рассуждениям. Однако, если взглянуть на этот процесс с точки зрения формализма, может ли в таком доказательстве быть упрощённый момент? Если для i-го элемента, считавшегося наименьшим, был найден элемент i-1, который также является "наименьшим", то при любом начальном j можно пройтись по последовательности, начиная с j и итеративно уменьшая элемент (к, k-1), каждый раз находя новый "наименьший" элемент. Это может привести к тому, что мы дойдём до базы, которая определённо не является наименьшим. Таким образом, это создаёт аналогичный эффект, что и в индукции, только в обратном направлении.
Ваше рассуждение касается применения принципа наименьшего числа (или метода противоречия) в математических доказательствах. Формальный вывод из такого доказательства подразумевает выявление противоречия, возникающего из предположения, что существует наименьший элемент, который на самом деле не является таковым. Давайте рассмотрим формальную структуру вывода: 1. **Предположение**: Пусть \( P \) — это утверждение, для которого мы предполагаем, что существует элемент \( i \), при котором \( P(i) \) истинно, а все элементы, меньшие \( i \), не имеют свойства \( P \) (то есть, они не удовлетворяют условию, которое мы хотим доказать). 2. **Наименьший элемент**: Обозначим \( i \) как наименьший элемент, для которого \( P(i) \) истинно. В этом контексте мы говорим, что \( i \) минимален среди всех таких элементов. 3. **Поиск меньшего элемента**: Теперь мы находим элемент \( i-1 \) (или любой другой элемент меньше \( i \)), который также удовлетворяет свойству \( P \). Это приводит нас к противоречию с нашим предположением о том, что \( i \) является наименьшим элементом. 4. **Заключение**: Поскольку мы пришли к противоречию, исходное предположение о существовании наименьшего элемента, удовлетворяющего условий \( P \), неверно. Следовательно, свойство \( P \) не может быть истинным для любого элемента, что и требуется доказать. Ваша точка о том, что можно рассмотреть понижение индекса как итеративный процесс, действительно акцентирует внимание на логике индукции, но с точки зрения противоречия мы делаем упор на том, что минимум не может существовать при наличии меньшеего элемента, что и приводит нас к выводу. Таким образом, формальный подход позволяет нам четко аргументировать, почему предположение о наличии наименьшего элемента невозможно — путем нахождения элемента, который противоречит этому предположению. Это делает вывод более строгим и ясным.
Нет, эти рассуждения не нужны, вы перемудрили немного. Вы предположили, что во множестве есть минимальный элемент, но получили, что во множестве есть меньший этого минимума элемент. Противоречие. Ибо все остальные элементы множества больше минимального (по определению минимума). Все. Отсюда следуюет что во множестве нет минимального элемента.
Дальше, да, хорошо бы указать, что любое подмножество положительных целых чисел обязательно имеет минимальный элемент. А раз минимума нет, то подмножества с искомым свойством не существует. Но это очевидный и постоянно повторяемый факт, поэтому его часто пропускают.
Есть еще тонкий момент: рассуждения получающие меньший элемент заданного иногда нельзя применить ко всем числам. Например, если вы работаете с целыми положительными, а предположенный минимальный у вас 1, то из 1 вы меньшее число никак не получите. Поэтому надо сначала проверить, принадлежит ли 1 к множеству и потом предполагать существование минимального элемента > 1.