Ваше понимание проблемы и логики, стоящей за доказательством леммы 2.18, вполне обосновано, и вы определенно на правильном пути. Давайте детально разберем ситуацию и ключевые моменты.
1. **Типы вершин**: Как вы правильно заметили, в графе могут встречаться отдельные вершины, пути и циклы. Если посмотреть на полный паросочник, то каждая вершина в левой доле имеет степень выходов (out degree) равную 1, а каждая вершина в правой доле - степень входов (in degree) равную 1. Это значит, что не может быть отдельных вершин, так как все они принимают участие в паросочетании.
2. **Циклы и пути**: Важно отметить, что в контексте полного паросочетания и структуры графа, действительно должны иметь место только циклы, если у нас нет отдельных вершин и путей, как вы заметили. Путь может возникнуть, если есть хотя бы одна вершина, которая имеет степень входа или выхода более 1, что противоречит условию полного паросочетания. Таким образом, если полностью использовать все пары, то все, что остается, это циклы.
3. **Согласованность с леммой**: Лемма 2.18, скорее всего, утверждает, что в таком случае все компоненты графа или являются циклами, или исключены как единичные вершины. Поскольку в вашем случае единичные вершины отсутствуют, мы приходим к выводу, что граф на самом деле состоит только из циклов.
Таким образом, ваше предположение о том, что граф в условиях полного паросочетания не содержит ни отдельных вершин, ни путей, а лишь циклы, является корректным. В этом контексте доказательство леммы может показаться излишне сложным, но оно, возможно, включает в себя дополнительные соображения для полноты или для обоснования более общего случая, который не ограничивается только полным паросочетанием.
Если у вас есть возможность упростить доказательство, конечно, стоит попробовать, используя вашу логику. Главное, чтобы все ключевые аспекты и условия были учтены.