Функция \( f(x) \) называется непрерывной в точке \( x_0 \), если выполнены следующие три условия:
1. \( f(x_0) \) определена.
2. \(\lim_{x \to x_0} f(x) \) существует.
3. \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \).
Это означает, что значения функции вблизи точки \( x_0 \) стремятся к значению функции в этой точке, и нет "разрывов" в графике функции. Если функция непрерывна в каждой точке своего определения, то она называется непрерывной на своём промежутке.
### Последовательность непрерывных функций
Когда мы говорим о последовательности непрерывных функций, часто рассматриваем ситуацию, когда мы изучаем предел этой последовательности, например:
\[
f_n(x) \to f(x) \quad \text{при } n \to \infty.
\]
Основной вопрос, который возникает в этом контексте, заключается в том, сохраняется ли свойство непрерывности в пределе. В общем случае, даже если каждая функция \( f_n(x) \) непрерывна, это не гарантирует, что предельная функция \( f(x) \) также будет непрерывной. Однако существует несколько теорем, которые помогают установить это:
1. **Теорема о пределе непрерывных функций**: Если последовательность непрерывных функций \( f_n(x) \) сходима равномерно к функции \( f(x) \) на некотором промежутке, то \( f(x) \) также будет непрерывной на этом промежутке.
2. **Теоремы о сходимости**: Если \( f_n(x) \) сходится к \( f(x) \) по одной из норм (например, равномерно или pointwise), и при этом все \( f_n \) непрерывны, необходимо учитывать, какая именно сходимость имеет место, чтобы делать вывод о непрерывности предельной функции.
Таким образом, при работе с последовательностью непрерывных функций и их пределами важно быть внимательным и использовать соответствующие теоремы для анализа свойств предельной функции.