Для системы дифференциальных уравнений вида \( x' = A \cdot x \), матрица Коши (или матрица основного решения) является экспонентой матрицы \( A \) и обозначается как \( C(t) = e^{At} \). Эта матрица используется для описания решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений.
Чтобы построить матрицу Коши для данной системы, следуйте следующим шагам:
1. **Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы \( A \)**:
\[
A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \\ 3 & -3 & 5 \end{pmatrix}
\]
Для этого нужно решить характеристическое уравнение:
\[
\det(A - \lambda I) = 0
\]
где \( I \) — единичная матрица.
Найдите характеристический многочлен и решите его на собственные значения \( \lambda \).
2. **Найдите собственные векторы**: После нахождения собственных значений, подставьте их обратно в уравнение \( (A - \lambda I) v = 0 \), чтобы найти соответствующие собственные векторы.
3. **Составьте матрицу диагонализации \( P \)** и диагональную матрицу \( D \)**: Если матрица \( A \) диагонализируема, то можно записать:
\[
A = PDP^{-1}
\]
где \( D \) — диагональная матрица, содержащая собственные значения на главной диагонали.
4. **Найдите \( e^{At} \)**: Если \( A \) диагонализируема, то:
\[
e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}
\]
где \( e^{Dt} \) — это экспонента диагональной матрицы:
\[
e^{Dt} = \begin{pmatrix} e^{\lambda_1 t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{\lambda_3 t} \end{pmatrix}
\]
5. **Соберите всё вместе**: Теперь у вас есть матрица Коши \( C(t) = e^{At} \).
Если матрица \( A \) не диагонализируема, то вам придется использовать форму Жордана или метод ряда Тейлора для приблизительных вычислений \( e^{At} \).
Эти шаги обеспечат вам полный метод построения матрицы Коши для заданной системы дифференциальных уравнений.