Как создать матрицу Коши для системы дифференциальных уравнений?

Как построить матрицу Коши для системы дифференциальных уравнений \( x' = A \cdot x \), где матрица \( A \) имеет следующий вид: 
\[
A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \\ 3 & -3 & 5 \end{pmatrix}?
\]
  • 24 декабря 2024 г. 12:03
Ответы на вопрос 1
Для системы дифференциальных уравнений вида \( x' = A \cdot x \), матрица Коши (или матрица основного решения) является экспонентой матрицы \( A \) и обозначается как \( C(t) = e^{At} \). Эта матрица используется для описания решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений.

Чтобы построить матрицу Коши для данной системы, следуйте следующим шагам:

1. **Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы \( A \)**:
   \[
   A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \\ 3 & -3 & 5 \end{pmatrix}
   \]
   Для этого нужно решить характеристическое уравнение:
   \[
   \det(A - \lambda I) = 0
   \]

   где \( I \) — единичная матрица.

   Найдите характеристический многочлен и решите его на собственные значения \( \lambda \).

2. **Найдите собственные векторы**: После нахождения собственных значений, подставьте их обратно в уравнение \( (A - \lambda I) v = 0 \), чтобы найти соответствующие собственные векторы.

3. **Составьте матрицу диагонализации \( P \)** и диагональную матрицу \( D \)**: Если матрица \( A \) диагонализируема, то можно записать:
   \[
   A = PDP^{-1}
   \]
   где \( D \) — диагональная матрица, содержащая собственные значения на главной диагонали.

4. **Найдите \( e^{At} \)**: Если \( A \) диагонализируема, то:
   \[
   e^{At} = Pe^{Dt}P^{-1}
   \]
   где \( e^{Dt} \) — это экспонента диагональной матрицы:
   \[
   e^{Dt} = \begin{pmatrix} e^{\lambda_1 t} & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{\lambda_3 t} \end{pmatrix}
   \]

5. **Соберите всё вместе**: Теперь у вас есть матрица Коши \( C(t) = e^{At} \).

Если матрица \( A \) не диагонализируема, то вам придется использовать форму Жордана или метод ряда Тейлора для приблизительных вычислений \( e^{At} \).

Эти шаги обеспечат вам полный метод построения матрицы Коши для заданной системы дифференциальных уравнений.
Похожие вопросы