Как решить задачу на минимальный поток с минимальными затратами? 

Самолет последовательно посещает города от 1 до n. Для каждой пары городов (i, j) известно, что pi,j пассажиров хотят сесть на самолет в городе i и выйти в городе j, причем каждый из этих пассажиров готов заплатить fi,j за поездку. Как можно определить максимальную прибыль, учитывая, что самолет может вместить не более k человек одновременно?

Если рассматривать поток в качестве ограничения на вместимость самолета и преобразовать стоимости в виде (-1)*pi,j*fi,j, то можно найти кратчайшие (или, в данном случае, длиннейшие) пути, поскольку образованный граф является ориентированным ациклическим графом (dag). Однако остаются две проблемы: пассажиры pi,j могут выйти не на своей остановке (что создает проблемы с рёбрами vij->t) и стоимость может быть некратной значению fi,j.

Как будет выглядеть граф для пар (1, 4) и (2, 3) на 5 вершинах?
  • 15 декабря 2024 г. 11:43
Ответы на вопрос 1 
Чтобы решить задачу о максимальной прибыли от перевозки пассажиров между городами с заданными параметрами, мы можем использовать подход с максимальным потоком и некоторыми модификациями в графе. Предлагаю следующий алгоритм:

1. **Построение графа**:
   - Создадим ориентированный граф с `n + 2` вершинами: `s` (источник), `t` (сток), а также `1, 2, ..., n` – города.
   - Вершина `s` соединяется с каждой из вершин города `i` (где `i` - номер города), имея ребро с пропускной способностью, равной количеству желающих сесть на самолет в этом городе.
   - Вершины города `j` (где `j` - номер города) соединяются с вершиной `t`, имея ту же пропускную способность, что и потоки пассажиров из этих городов в другие.

2. **Создание ребер между городами**:
   - Для каждого города `i` и `j` (где `i < j`) с учетом стоимости перевозки, добавьте ребро из `i` в `j` с пропускной способностью, равной количеству пассажиров `p[i,j]` (количество пассажиров, которые хотят поехать из `i` в `j`).
   - Чтобы учесть прибыль, необходимо поместить на ребрах соответствующие стоимости (это могут быть веса в вашем новом графе, где стоимостш возьмем отрицательными).

3. **Потоковые ограничения**:
   - Поскольку самолет может вместить не более `k` пассажиров одновременно, добавьте дополнительное ограничение на общем потоке, который не должен превышать `k`, когда он движется к `t`.

### Пример для пар (1, 4) и (2, 3) на 5 вершинах:
Предположим у нас есть 5 городов и следующие данные о пассажирах и стоимости:
- Пассажиров из города 1 в 4: `p[1,4]`, `f[1,4]`
- Пассажиров из города 2 в 3: `p[2,3]`, `f[2,3]`

Исходя из этих данных, граф будет выглядеть следующим образом:

```
       s
       | \
       |  \
    p[1,4] \
       |     \
       1 -----> 4
       |     /
       |   /
       | /
    p[2,3] 
       | 
       2 -----> 3
       |
       |
       t
```

- Ребро `s -> 1` с пропускной способностью, равной количеству пассажиров, желающих вылететь из 1-го города.
- Ребро `s -> 2` с пропускной способностью, равной количеству пассажиров, желающих вылететь из 2-го города.
- Ребро `1 -> 4`, пропускная способность `p[1,4]`, стоимость `-f[1,4]`.
- Ребро `2 -> 3`, пропускная способность `p[2,3]`, стоимость `-f[2,3]`.
- Ребра 4 и 3 (города) подключаются к стоку `t` с пропускной способностью, равной количеству пассажиров, готовых вылететь из этих городов.

### Итог:
После построения графа можно применить алгоритм, такой как алгоритм Эдмондса-Карпа или алгоритм Форда-Фалкерсона, чтобы найти максимальный поток из `s` к `t`, что в данном контексте будет представлять максимальную прибыль, учитывая ограничения по количеству пассажиров.
Похожие вопросы
    Показать ещё