Как преобразовать задачу в задачу о минимальном разрезе?

Question

Евстафий

алгоритмы

Как преобразовать задачу в задачу о минимальном разрезе?

Как можно минимизировать общую стоимость поливки n×n поля удобрениями, используя три доступных способа: полив отдельной клетки (i, j) с ценой ci,j, полив всей горизонтали i за стоимость ri и полив всей вертикали j за цену cj, при условии, что все клетки должны быть политы хотя бы один раз? <br/><br/> В контексте задачи можно выделить два подхода: <br/> 1) Как установить такие ограничения между cost и aij, чтобы исключить все конфигурации, где хотя бы одна клетка не была обработана, с тем, чтобы "магическим образом" найти оптимальное решение? <br/> 2) Возможно ли использовать тот факт, что стоимость поливки клетки ограничена max(pij, ri/n + ci/n), и отнести к этого пределу дополнительное ограничение, обозначив разрез как x?

4 декабря 2024 г. 0:33

Ответы на вопрос 2

Похожие вопросы

Answer 1

Чтобы преобразовать задачу поливки n×n поля удобрениями в задачу о минимальном разрезе, можно использовать следующие подходы.

## Подход 1: Установка ограничений

1. **Определение графа**: Построим направленный граф, в котором:
- Есть источник `S`, который будет соединен с каждой клеткой (i, j) с весом `c[i][j]`.
- Каждая клетка (i, j) соединена с двумя узлами: `Водный_горизонт_i`, который представляет полив всей горизонтали i (с весом `r[i]`), и `Водный_вертикал_j`, который представляет полив всей вертикали j (с весом `c[j]`).

2. **Связь**: Установим ребра между:
- источником `S` и каждой клеткой `c[i][j]`.
- каждой клеткой `c[i][j]` и узлом `Водный_горизонт_i` (с весом `0`).
- каждой клеткой `c[i][j]` и узлом `Водный_вертикал_j` (с весом `0`).

3. **Требование о поливе**: Установим ограничение на потоки от узла `S` к каждому узлу `Водный_горизонт_i` и `Водный_вертикал_j`. Это гарантирует, что каждая клетка будет полита хотя бы один раз.

4. **Оптимизация потока**: Теперь задача заключается в нахождении минимального потока от источника `S` до всех узлов таким образом, чтобы покрыть все клетки. Полученная стоимость потока будет равняться минимальной стоимости полива, которая при этом будет минимизироваться.

## Подход 2: Использование максимума цен

1. **Нормализация цен**: Как вы указали, можно установить ограничение, что стоимость поливки клетки `c[i][j]` не должна превышать некоторого значения, которое может быть выражено как `max(p[i][j], r[i]/n + c[j]/n)`.

2. **Граф расчета**: Мы можем создать разрез между максимальной ценой и текущими стоимостью порции, добавив дополнительный узел, который будет представлять разрез. Это даст возможность рассматривать конфигурации и взаимодействия между вариантами полива, минимизируя расходы до этой предельной стоимости.

3. **Проверка возможности**: В этом методе мы должны убедиться, что каждая клетка i,j все равно будет полита, одновременно минимизируя затраты до ограничения.

Таким образом, каждый из предложенных подходов позволяет формализовать изначальную задачу о минимизации затрат на полив в задачу о минимальном разрезе, при этом каждое из решений дает свой взгляд на оптимизацию процессов полива, учитывая различные ограничения и возможности.

Answer 2

Вам нужен 2-дольный граф. Левая доля соответствует строкам, правая - столбцам. Из истока ребора в левую долю (ценой ri), из правой доли - в сток (ценой ci). Ребра между долями ценой aij. 
 
 Любой разрез тут соответствует покрытию всех вершин. Вы должны разрезать ребро между ij или si или jt что чоответствует покрытию клетки, строки иои столбца.