Да, конечно! Давайте рассмотрим, как можно обосновать получение коэффициентов Фурье с использованием свойств ортогональности тригонометрических функций.
Предположим, у нас есть периодическая функция \( f(x) \) с периодом \( T \). Мы можем представить её в виде ряда Фурье, который описывается такими выражениями:
\[
f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) \right)
\]
Где коэффициенты \( a_0 \), \( a_n \) и \( b_n \) вычисляются по следующим формулам:
\[
a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T f(x) \, dx
\]
\[
a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \, dx
\]
\[
b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \, dx
\]
Теперь давайте рассмотрим, как мы получаем эти формулы, используя ортогональность.
### Ортогональность косинусов и синусов
Основное свойство, которое нам понадобится, - это ортогональность функций \( \cos \) и \( \sin \) на интервале \( [0, T] \):
\[
\int_0^T \cos\left(\frac{2\pi m x}{T}\right) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \, dx =
\begin{cases}
\frac{T}{2}, & m = n \\
0, & m \neq n
\end{cases}
\]
\[
\int_0^T \sin\left(\frac{2\pi m x}{T}\right) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \, dx =
\begin{cases}
\frac{T}{2}, & m = n \\
0, & m \neq n
\end{cases}
\]
\[
\int_0^T \sin\left(\frac{2\pi m x}{T}\right) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \, dx = 0
\]
### Вывод коэффициентов
Теперь мы можем получить коэффициенты \( a_n \) и \( b_n \). Для того чтобы определить \( a_n \), мы умножаем обе стороны ряда Фурье на \( \cos\left( \frac{2 \pi n x}{T} \right) \) и интегрируем:
\[
\int_0^T f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \, dx = \int_0^T \left( a_0 + \sum_{m=1}^{\infty} \left( a_m \cos\left(\frac{2\pi m x}{T}\right) + b_m \sin\left(\frac{2\pi m x}{T}\right) \right) \right) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \, dx
\]
С учетом свойств ортогональности, все интегралы, где \( m \neq n \), исчезнут, а для \( m = n \) мы получим:
\[
\int_0^T f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \, dx = \frac{T}{2} a_n
\]
Отсюда следует:
\[
a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \, dx
\]
Аналогично, для поиска коэффициента \( b_n \) мы умножаем обе стороны на \( \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \) и интегрируем:
\[
\int_0^T f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \, dx = \frac{T}{2} b_n
\]
Итак, мы получаем:
\[
b