Комбинирование векторов в квантовой механике, в частности в контексте поляризации фотонов и оптических элементов, включает в себя использование суперпозиции и преобразование состояний через оптические элементы, такие как beamsplitter и polarizing beam splitter (PBS).
### Шаг 1: Вектор состояния до beamsplitter
Исходное состояние можно записать как:
\[
|\psi\rangle = a|H\rangle + b|V\rangle,
\]
где \( a \) и \( b \) — амплитуды для горизонтальной (\( H \)) и вертикальной (\( V \)) поляризаций соответственно.
### Шаг 2: Прохождение через обычный beamsplitter
Когда состояние проходит через обычный beamsplitter (должен быть соблюден закон сохранения энергии), AND, порой, учитываются фазовые сдвиги и ослабление амплитуд (в большинстве случаев идеальная передача происходит с коэффициентом \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)). После beamsplitter состояние можно представить как:
\[
|\psi'\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(a|H_{\downarrow}\rangle + b|V_{\downarrow}\rangle - a|H_{\uparrow}\rangle - b|V_{\uparrow}\rangle),
\]
где индексы 'вниз' и 'вверх' обозначают выходы beamsplitter.
### Шаг 3: Прохождение через Polarizing Beam Splitter (PBS)
Polarizing Beam Splitter (PBS) разделяет состояния по поляризации. Поляризованные состояния \( |H\rangle \) и \( |V\rangle \) направляются в разные выходы. Для состояния \( |\psi'\rangle \), мы можем разбить его по поляризации:
1. Степень состояния \( |H_{\downarrow}\rangle \) перейдет в один выход PBS, скажем, выход A.
2. Степень состояния \( |V_{\downarrow}\rangle \) перейдет в другой выход PBS, скажем, выход B.
3. Аналогично, \( |H_{\uparrow}\rangle \) и \( |V_{\uparrow}\rangle \) попадут в соответствующие выходы.
### Вероятности выходов
Вероятности встречаемости фотонов в выходах BBC зависят от приведенных амплитуд. Например, если вы хотите найти вероятность выхода A (заход H):
- Из состояния \( |\psi'\rangle \) мы имеем компоненту \( |H_{\downarrow}\rangle \), которая идет в выход A.
- Вероятность того, что фотон окажется в выходе A, будет равна квадрату амплитуды этого компонента.
В общем, если \( |\alpha\rangle \) — это амплитуда состояния для выхода A, и \( |\beta\rangle \) — для выхода B, то вероятности будут следующие:
\[
P(A) = |\alpha|^2, \quad P(B) = |\beta|^2.
\]
Для состояния \( |\psi'\rangle \):
- \( \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} a \)
- \( \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} b \)
Следовательно, результаты вероятности для выхода A и B будут:
\[
P(A) = \frac{1}{2}|a|^2, \quad P(B) = \frac{1}{2}|b|^2.
\]
Таким образом, в конечном итоге вы можете рассчитать вероятности для любого из выходов, анализируя амплитуды и используя квадрат модулей для получения соответствующих вероятностей.