Как можно обосновать, что при использовании метода двух указателей мы не упустим ни одной пары i, j, которая могла бы привести к правильному ответу?

Метод двух указателей (или два указателя) — это техника, часто используемая для решения задач, связанных с массивами или последовательностями. Он позволяет эффективно обрабатывать данные, используя два указателя, которые могут перемещаться по массиву в различных направлениях.

Чтобы обосновать, что мы не упустим ни одной пары \(i, j\), которая может привести к правильному ответу, можно воспользоваться следующим объяснением:

1. **Определение задачи**: Чтобы понять, как реализовать подход с двумя указателями, необходимо четко определить, что именно мы ищем. Это может быть, например, определение пар, сумма которых равна заданному числу, или нахождение подмассива с определенными свойствами.

2. **Сортировка**: Метод двух указателей часто применяется к отсортированным массивам. Если массив отсортирован, то при движении указателей можно упорядоченно проверять условия, которые нам нужны. Например, если сумма двух чисел меньше заданного значения, то мы можем переместить левый указатель вправо, чтобы получить большее значение; если сумма больше, то правый указатель перемещается влево.

3. **Перебор всех возможных пар**: По сути, двигая два указателя, мы находим все возможные слегка пересекающиеся диапазоны. Один указатель может служить для фиксации одного элемента, в то время как второй будет перемещаться по оставшейся части массива, что гарантирует проверку всех пар.

4. **Систематичность**: Используя метод двух указателей, вы систематически обрабатываете элементы массива или последовательности, что обеспечивает полное покрытие всех пар (или подмножеств). Например, в случае поиска двух чисел, сумма которых равна \(X\), если мы проходим по массиву с левого указателя и правого, то, перемещая их, мы проверяем все возможные комбинации.

5. **Временные пределы**: В отличие от наивного решения с двойным циклом, где проверка всех пар занимает \(O(n^2)\), метод двух указателей оптимизирует это, позволяя обрабатывать массив за \(O(n)\) или \(O(n \log n)\) (если требуется сортировка), что делает его более эффективным для больших наборов данных.

Таким образом, если алгоритм правильно реализован (особенно в контексте сортированных данных и условий задачи), можно уверенно сказать, что метод двух указателей не упустит ни одной пары \(i, j\), которая могла бы привести к правильному ответу.

В такой реализации это плохо видно, но можно переписать основной цикл так: 
 
j = Len(B)-1
for i in range(len(A)):
  while j >= 0 and A[i] + B[j] > c:
    --j;
  if A[i] + B[j] == c:
    found = True
    break
 
 
 В этом случае после цикла while поддерживается инвариант, что a[i]+b[j] <= c и это максимальное такое j. 
 Ведь, если этот инвариант поддерживался для пердыдущей итерации, то у нас было a[i-1] +b[j] <=c и a[i-1]+b[j+1]>c. Отсюда получается,  a[i]+b[j+1] >= a[i-1]+b[j+1] > c. Т.е. если мы уменьшим j в цикле while инвариант останется действовать - это будет самое большое j, т.ч. a[i]+b[j] <= c. 
 
 А этот инвариант гарантирует, что когда в цикле по i переберется значение из ответа, j гарантированно будет указываать на j из ответа. Потому что, если существуют i', j', т.ч. a[i']+b[j'] = c, то можно увеличить j' пока b там не меняется, т.ч. b[j']>b[j'], отсюда получается a[i']+b[j'] <=c и a[i']+b[j+1] > c - а это и есть наш инвариант. Т.е. на итерации i=i' найдется именно j=j'.