Что такое асимметричный граф и в чем его ключевые особенности? 

Добрый день! Я изучил некоторые материалы и попытался объяснить для себя, что ассиметричный граф — это граф, в котором каждая вершина имеет различное количество связей, то есть он незаменим... Однако я не уверен в корректности данной формулировки. Прав ли я? Если нет, то укажите, пожалуйста, в чем именно мои ошибки. Также, если возможно, расскажите о свойствах и признаках таких графов. 

В вики сообщается: 
<blockquote>В теории графов, разделе математики, неориентированный граф называется асимметричным графом, если он не имеет нетривиальных симметрий.<br/> 
Формально, автоморфизм графа - это перестановка p его вершин, обладающая свойством, что любые две вершины u и v смежны тогда и только тогда, когда p(u) и p(v) смежны. Отображение идентичности графа всегда является автоморфизмом и называется тривиальным автоморфизмом графа. Асимметричный граф - это граф, для которого нет других автоморфизмов.</blockquote> 

Согласно материалам преподавателя: 
<blockquote>Граф называется ассиметричным только тогда, когда обладает тождественным автоморфизмом.</blockquote> 

Определения ссылаются на автоморфизм, который происходит от изоморфизма, но, разбирая примеры, я не очень ясно понимаю их суть и разницу. 

Заранее спасибо.
  • 6 ноября 2024 г. 17:43
Ответы на вопрос 2 
Добрый день!

Вы на правильном пути в понимании концепции асимметричного графа, но давайте проясним некоторые моменты и термины.

### Определение асимметричного графа
**Асимметричный граф** - это неориентированный граф, который **не имеет нетривиальных автоморфизмов**. Это означает, что единственным автоморфизмом графа является только тривиальный автоморфизм, то есть отображение, которое оставляет все вершины и их связи неизменными. Другими словами, в асимметричном графе нельзя добиться превращения одной вершины в другую с помощью каких-либо перестановок, так как все вершины в графе "различаются" по своему положению и связываниям.

### Ключевые особенности
1. **Уникальные вершины:** В асимметричном графе каждая вершина ведет себя "по-разному". Если у вас есть две вершины, то они имеют разные окружения (соседей), что делает невозможным "поменять" одну на другую.
  
2. **Автоморфизмы:** Как уже отмечалось, у асимметричного графа есть только тривиальный автоморфизм. Это делает его полезным для изучения структуры графов и их свойств.

3. **Размер графа:** Небольшие графы проще проанализировать на асимметричность, но с увеличением числа вершин становится сложнее определять автоматизмы.

### Ошибки в вашем понимании
1. **Количество связей:** Ваше замечание о том, что "каждая вершина имеет различное количество связей", не является существующим требованием. Граф может иметь две (или больше) вершины с одинаковой степенью, но при этом оставаться асимметричным, если, скажем, их окружения (соседства) различны.

2. **Замена вершин:** Вы указали, что граф "незаменим". Но это требует некоторой ясности: асимметричные графы уникальны в том смысле, что не имеют симметрий, которые позволили бы "заменять" одну вершину другой.

### Автоморфизмы и изоморфизмы
- **Автоморфизм графа:** Это общее понятие, которое описывает любое отображение вершин графа на себя, сохраняющее структуру (соседства) графа.
  
- **Изоморфизм графов:** Это более сильное понятие, которое обозначает, что два графа являются "по существу одинаковыми", если можно найти взаимно однозначное соответствие между их вершинами, сохранить связи (ребра) между ними. Если два графа изоморфны, то существует автоморфизм между ними, но не наоборот.

### Пример
Простой асимметричный граф - это граф с тремя вершинами, соединенными в треугольник (т.е. каждый с каждой). Это граф симметричный, поскольку вы можете поменять местами любые вершины. Однако граф с одной вершиной и одной связью (линейный граф) не имеет дополнительных симметрий.

Если у вас есть другие вопросы или вы хотите прояснить еще что-то, пожалуйста, дайте знать!
Суть в том, что в графе нет одинаковых вершин или групп вершин. Их нельзя как-то переставить, что граф останется выглядеть точно так же. Вот пример граф из 4 вершин в виде квадрата. Его крутить можно как угодно и отражать - он выглядит точно так же - квадрат он и есть квадрат. А вот треугольник из одной вершины которого торчит путь длины 1, а из другой вершины - путь длины 2 - он несимметричный. Каждая вершина по своему уникальна. Одна вершина на треугольнике имеет степень 2. Одна имеет степень 3 и до ближайшей вершины-листа путь длины 1, Одна имеет степень 3 и до ближайшей вершины листа путь длины 2. Есть только одна вершина степени 2 не на цикле. Оставшиеся 2 вершины имеют степени 1, но от одной до цикла путь длины 1, а от другой - 2. Вы эти вершины как-то поменяйте местами и у вас граф будет выглядеть по другому. 
 
 Не обязательно все вершины должны иметь разную степень. Но их нельзя поменять местами, потому что они связаны с другими вершинам по разному.
Похожие вопросы
    Показать ещё