Сколько различных способов можно расставить **8 ладей** на шахматной доске таким образом, чтобы ни одна из них не била другую?

Для того чтобы определить количество способов расставить 8 ладей на шахматной доске таким образом, чтобы ни одна из них не била другую, можно воспользоваться перестановками. 

Правильный ответ на эту задачу равен \(8!\) (8 факториалов). Это можно понять следующим образом: первую ладью можно поставить на любую из 64 клеток доски, вторую - на любую из 63 оставшихся клеток и так далее. По правилу произведения мы получаем \(64 * 63 * 62 * ... * 57\), что равно \(8!\).

Способ вычисления, описанный в формуле \(64*49*36*... = (8!)^2\), неправильный, так как он считает количество способов, в которых две ладьи стоят на одной и той же линии или столбце. 

Например, когда мы ставим первую ладью, у нас есть 64 варианта. Когда мы ставим вторую ладью, мы должны учесть клетки на одной вертикали или горизонтали с уже поставленной ладьей. Это значит, что мы вместо 63 возможных клеток у нас остается 49 (8x8 - 15 клеток на одной линии с первой ладьей). Продолжая таким образом, мы получаем итоговое количество способов в \(64*49*36*... \neq (8!)^2\).

Итак, правильный ответ на задачу - \(8!\), что означает количество способов расставить 8 ладей на шахматной доске без взаимных атак.

Правильный ответ 8!. Ваше второе рассуждение упускает то, что вы одну и ту же позицию получите 8! раз. Ибо вы там считаете все фигуры уникальными. Допустим это все ладьи по диагонали. Вы первую можете поставить в 8 мест - одно из 64. Вторую в 7, когда выбираете из 49... И т.д. Вот и получится, что одну позицию - все на диагонали - вы подсчитали 8! раз.