Как создать размытый градиент для фона сайта, как показано на картинке?

Для создания размытого градиента для фона сайта, следует использовать CSS свойство background с заданием linear-gradient и добавлением значения blur для создания эффекта размытия. Например:

background: linear-gradient(135deg, #f76f6d, #6a82fb);
filter: blur(10px);

Для улучшения ясности и структуры данного вопроса, можно добавить пример кода или изображение с примером размытого градиента для более наглядного представления. Также стоит уточнить, какие конкретно параметры и настройки использовать для достижения нужного эффекта.

Открыть консоль браузера, выбрать нужный элемент и посмотреть как сделали это разработчики сайта.

Скорее всего никак. Там вот такая картика используется https://astro.build/_astro/HeroBackground.B0iWl89K... 
 
 Как правильно, сложные градиенты и прочую мешуру делают через канвас, если сам CSS не в состоянии это сделать или производительность хромает. 
 
 P.S. К примеру, веб-версия телеги, как раз таки, юзает канвас для отрисовки градиента.