Как можно скрыть использование расширения на определенном сайте, чтобы оно продолжало работать без обнаружения этим сайтом?

Один из способов скрыть использование расширения на определенном сайте - это изменение настроек самого расширения. Можно попробовать отключить уведомления или изменить некоторые параметры, чтобы оно работало более скрытно.

Для обхода блокировки сайта для использования расширения можно воспользоваться VPN-сервисами, которые изменяют ваш IP-адрес и маскируют ваше местоположение. Также можно попробовать использовать прокси-серверы или специальные программы для обхода блокировок. В случае, если блокировка осуществляется посредством DNS-фильтров или блокировки IP-адресов, можно попробовать изменить настройки сетевого соединения или использовать анонимайзеры.

Да, шансы есть, например обнаружить способ детектирования и переписать соответствующее место в расширении или 'сломать' метод детектирования, подменив функции на свои (тупой пример, можно подменить базовые методы работы с массивами или сторонам типа indexof и проверяя входные в него параметры, возвращать неправильный ответ) 
 
 С другой стороны, если расширение что то меняет на странице, то это можно детектировать, а значит не скрыть.