В каких случаях целесообразно выбирать иерархическую реализацию структуры данных "disjoint-set union" (DSU), включающую ранговую эвристику и сжатие путей, по сравнению с обычной реализацией на хэш-таблице или массиве? Какие преимущества иерархическая структура приносит при выполнении операций объединения и поиска элементов в DSU? Каков перевес в использовании ее в задачах, таких как указанная ниже, где каждому элементу требуется присвоить уникальный идентификатор множества? В каких ситуациях лучше всего применять иерархическую структуру DSU вместо тривиальной реализации на хэш-таблице или массиве?
Иерархическая реализация структуры данных "disjoint-set union" (DSU), включающая ранговую эвристику и сжатие путей, может быть целесообразна в случаях, когда требуется эффективно выполнять множество операций объединения и поиска элементов в DSU. Преимущества иерархической структуры включают более эффективное выполнение операций объединения и поиска, что может привести к улучшению производительности алгоритмов, использующих DSU. Ранговая эвристика позволяет уменьшить глубину деревьев в структуре данных, что ускоряет операции объединения. Сжатие путей позволяет уменьшить длину пути к корню элемента, что также улучшает производительность операций поиска. Иерархическую структуру DSU лучше всего использовать в случаях, когда необходимо эффективно работать с различными множествами элементов и проводить операции объединения и поиска. Например, при решении задачи, где необходимо присвоить каждому элементу уникальный идентификатор множества, иерархическая реализация DSU может быть предпочтительной, так как обеспечивает быструю работу с множествами и высокую производительность. В ситуациях, где требуется выполнять множество операций объединения и поиска элементов, иерархическая структура DSU может быть более эффективной по сравнению с тривиальной реализацией на хэш-таблице или массиве. В таких случаях выбор иерархической реализации позволит улучшить производительность алгоритмов и ускорить их выполнение.
DSU выполняет две операции: проверить, принадлежат ли 2 элемента одному множеству; объеденить множества двух данных элементов. Обе за O(log*n) ассимтотически. Это не логарифм, а суперлогарифм, или обратная функция Аккермана. Это - сколько нужно двоек сложить в степенную башню, чтобы набрать n. Она растет так медленно, что ее можно считать константой на практике (она достигнет 4 только при n=2^65536 - вы столько числел не сохраните во всех датацентрах мира).
Я бы в качестве альтернативной, "тривиальной" реализации рассматривал массив пометок + списки в массиве:
для каждого элемента храним номер его множества, а для каждого номера храним список всех его элементов в списках (так же, как и в DSU, в одном массиве ссылок на следующий элемент).
Эта структура компактна по памяти и более быстра, чем ваши хеш таблицы. Тут можно за O(1) проверить, что два числа в одном множестве и за O(log n) объеденить два множества (амортизированно, если перекрашиваем меньшее множество).
Итак, имеем O(Log*n) vs O(1) за проверку и O(log*n) vs O(log n) за объединения.
Т.е. вроде бы имеет смысл использовать пометки+списки, если у вас заметно больше проверок, чем объединений.
Но на практике там выигрыша нет, ибо редко когда у вас сильно больше проверок. Да и, если у вас много проверок, то оценка O(log*n) - завышена, ведь если вы одну и ту же проверку повторяете, то там пути сжимаются и проверки работают уже за O(1).
Таким образом, DSU от Тарьяна - лучше всех других структур на практике.