Сколькими способами можно составить мозаику из круга, разбитого на 42 сектора, каждый из которых покрашен в один из 6 цветов (с учетом поворотов круга)?
Для разделения фигуры на сектора разных цветов можно использовать круговую диаграмму или просто закрасить каждый сектор определенным цветом. Чтобы рассчитать количество способов составления мозаики из круга, разбитого на 42 сектора, каждый из которых покрашен в один из 6 цветов, нужно использовать формулу для размещения с повторениями. Представим каждый цвет как отдельный элемент, тогда нам нужно разместить 42 элемента по 6 цветам. С учетом поворотов круга, у нас будут 6 вариантов расположения цветов. Таким образом, количество способов будет равно 6^42 = 1,245,057,604,239,315,712.
Лемма бернсайда. Гуглите. Но суть в том, что надо подсчитать количество раскрасок, которые не меняются при повороте на какой-то угол. Для всех углов сложить и поделить на количество поворотов.
Поворот на 1<=i<=42 секторов создает gcd(i,42) циклов, каждый из которых должен быть окрашен целиком в один из 6 цветов. Т.е. получается 6^gcd(i,42) раскрасок, инвариантных для поаорота на i секторов.
Отсюда ответ к задаче: sum i=1..42 6^gcd(i,42)/42.