Один из примеров билинейной кососимметричной функции в двумерном пространстве E^2 может быть задан следующим образом:
Пусть дана функция f: E^2 x E^2 -> R, где E^2 - двумерное пространство, определенная как f((x1, y1), (x2, y2)) = x1*y2 - x2*y1.
Эта функция является билинейной, так как линейна по каждому аргументу:
1. f((x1 + x1', y1 + y1'), (x2, y2)) = (x1 + x1')*y2 - x2*(y1 + y1') = x1*y2 + x1'*y2 - x2*y1 - x2*y1' = f((x1, y1), (x2, y2)) + f((x1', y1'), (x2, y2))
2. f((a*x1, a*y1), (x2, y2)) = a*x1*y2 - a*x2*y1 = a*(x1*y2 - x2*y1) = a*f((x1, y1), (x2, y2))
Также эта функция является кососимметричной, так как f((x1, y1), (x2, y2)) = x1*y2 - x2*y1 = -(x2*y1 - x1*y2) = -f((x2, y2), (x1, y1)).
Таким образом, функция f соответствует условиям билинейной и кососимметричной функции в двумерном пространстве.