Количество действительных чисел равно континууму, то есть имеет мощность континуума. Это можно показать, например, используя метод диагонализации Кантора или построив биекцию между множеством действительных чисел и отрезком [0, 1].
Теорема Бэра утверждает, что объединение счетного числа нигде не плотных множеств в полном метрическом пространстве плотно. Можно воспользоваться этой теоремой для доказательства того, что множество действительных чисел R несчетно. Предположим противное, что множество действительных чисел R счетно, то есть можно перечислить его элементы в виде последовательности {x1, x2, x3, ...}. Тогда для каждого xi построим интервал (xi - ε/2^i, xi + ε/2^i), где ε > 0. Эти интервалы будут нигде не плотными, так как каждый из них содержит только один элемент последовательности. Следовательно, их объединение должно быть плотным в R по теореме Бэра, что противоречит существованию промежутков между элементами последовательности.
Можно ли улучшить это доказательство? Можно попробовать использовать другие теоремы или подходы, например, доказать несчетность множества действительных чисел через диагонализацию или построение биекции с другим несчетным множеством.