Для того чтобы найти ядро оператора \(A\) по известной матрице, необходимо решить систему уравнений \(Ax = 0\), где \(x\) - вектор переменных. Решение этой системы будет ядром оператора \(A\).
Оператор \(A\) можно описать с помощью матрицы следующим образом: если \(A: V \rightarrow W\) - линейный оператор между двумя векторными пространствами \(V\) и \(W\), то его матрица \(A\) в некоторых базисах \(e\) и \(f\) определяется как
\[ [A]_{e}^{f} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix} \]
где \(a_{ij}\) - элементы матрицы, которые задаются так: \(Af_j = \sum_{i=1}^{m}a_{ij}e_i\) для всех базисных векторов \(f_j\), где \(j = 1,2,...,n\).
Таким образом, матрица оператора \(A\) позволяет нам удобным способом описать действие оператора на векторы в пространствах \(V\) и \(W\).