Как в Avalonia UI отобразить окно поиска Google внутри приложения?

Для отображения окна поиска Google внутри приложения на Avalonia UI, можно воспользоваться встроенным WebView для отображения веб-страниц. 

Примерно такой код может помочь вам реализовать это:

```csharp
<Window>
    <StackPanel>
        <TextBox Name="searchTextBox" Width="200"/>
        <Button Content="Search" Click="Search_Click"/>
        <WebView Source="https://www.google.com"/>
    </StackPanel>
</Window>
```

А вот пример кода для обработки клика на кнопку и выполнения поиска:

```csharp
private void Search_Click(object sender, RoutedEventArgs e)
{
    string query = searchTextBox.Text;
    string searchUrl = "https://www.google.com/search?q=" + query;
    webView.Source = searchUrl;
}
```

Таким образом, при вводе текста в TextBox и нажатии на кнопку "Search" будет загружена страница Google с результатами поиска по введенному запросу.

Также, ссылка на ваш репозиторий GitHub `https://github.com/Zakarayaev/Browser` не работает, поэтому я не могу посмотреть ваш код и дать более конкретные советы. Надеюсь, что предложенный код и описание помогут вам реализовать функционал поиска в вашем приложении.