Как можно правильно выполнить это задание?

1. Попросить помощи у учителя или человека, хорошо разбирающегося в данной теме.
2. Использовать интернет для поиска подсказок или решения данной задачи.
3. Обратиться за помощью к одноклассникам или друзьям, которые могут помочь, если у них есть опыт в решении подобных задач.
4. Попробовать подойти к задаче с другой стороны, переформулировать ее или применить другие математические методы.
5. Изучить более простые примеры и понять основные принципы, которые могут быть применены к данной задаче.
6. Попробовать разбить задачу на более мелкие компоненты и решить их по отдельности, а затем объединить полученные результаты.

У вас 7 неизвестных и 3 уравнения. Так что однозначно вы найти значения переменных никак не сможете. Но и найти вам надо какую-то сумму. Есть шанс, что как-то комбинируя, складывая, вычитая и домножая левые части этих уравнений можно получить искомую сумму. Иными словами, вам надо вектор (16, 25..100) представить в виде линейной комбинации векторов (1, 2..49), (4, 9..64) и (9, 16..81). Обратите внимание, что там везде получаются суммы трех квадратов равны следующему. 
 
 Вам надо подобрать такие 3 коэффициента, что x*n^2 + y(n+1)^2+z(n+2)^2 = (n+3)^2. Для n=1..7. У вас тут квадратные многочлены от n получаются, равны они в 7 точках, так что они должны быть равны вообще при любых n. Значит, вам надо раскрыть скобки, сгрупировать степени n и приравнять к 0 все коэффициенты. 
 
 Так вы получите 3 уравнения на 3 переменные x, y, z. 
 x+y+z=1 
 2y+4z=6 
 y+4z=9 
 
 Отсюда получается x=1 y=-3 z=3 
 
 В итоге получаете 1*1-3*12+3*123 - это ваш ответ.