Пример переписанного кода с использованием JQuery:
```html
<!DOCTYPE html>
<html lang="en">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge">
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
<title>Submenu Dropdown</title>
<script src="https://code.jquery.com/jquery-3.6.0.min.js"></script>
<style>
.submenu {
display: none;
}
</style>
</head>
<body>
<ul>
<li class="dropdown">Menu 1
<ul class="submenu">
<li>Submenu 1</li>
<li>Submenu 2</li>
<li>Submenu 3</li>
</ul>
</li>
<li class="dropdown">Menu 2
<ul class="submenu">
<li>Submenu 1</li>
<li>Submenu 2</li>
</ul>
</li>
</ul>
<script>
$(document).ready(function() {
$('.dropdown').click(function() {
$(this).children('.submenu').toggle();
$('.submenu').not($(this).children('.submenu')).hide();
});
$(document).click(function(event) {
if (!$(event.target).closest('.dropdown').length) {
$('.submenu').hide();
}
});
});
</script>
</body>
</html>
```
Для улучшения функции `subnav()` и скрытия подменю при клике в другом месте, можно добавить обработчик клика на `document`, который будет скрывать подменю, если клик был сделан вне элементов списка или подменю.
Также использование JQuery позволяет более компактно обращаться к элементам DOM и управлять ими.