Для решения проблемы с отправкой сообщений от бота к другим ботам необходимо использовать механизм inline-режима.
Inline-режим позволяет боту взаимодействовать с другими пользователями и ботами через inline-кнопки или команды. В этом режиме бот может активироваться в чате или группе по упоминанию и отправлять сообщения пользователям без ограничений.
Для реализации аналога Livegram вам необходимо добавить обработчики inline-запросов в вашем коде. Когда пользователь упоминает вашего бота в чате и начинает взаимодействовать с ним через inline-кнопки, ваш бот сможет отправлять сообщения другим пользователям или ботам без ошибки "Bots can't send messages to bots".
Помимо этого, вы можете использовать аутентификацию OAuth для получения доступа к API других ботов или сервисов, чтобы ваш бот мог отправлять сообщения напрямую.
Таким образом, реализация аналога Livegram и избежание ограничений при отправке сообщений другим ботам возможны через использование inline-режима и аутентификации OAuth.