Как задается связь между оператором, матрицей и линейным преобразованием? Является ли оператор самим преобразованием, а его коэффициенты - матрицей? Почему в одном случае вектора и матрица выделены жирным шрифтом, а в другом - обычным, если в обоих случаях речь идет о векторах и матрице?
Оператор и матрица - это два различных математических объекта в линейной алгебре, но между ними существует тесная связь. Оператор представляет собой линейное преобразование, которое действует на векторы в линейном пространстве. Оператор задается с помощью функции или формулы, которая описывает действие оператора на вектор. Матрица, с другой стороны, представляет собой конкретное представление оператора в виде таблицы чисел. Эти числа представляют коэффициенты, с помощью которых оператор действует на вектор, когда последний представлен в виде столбца. Связь между оператором и матрицей заключается в том, что матрица оператора обычно используется для удобства вычислений и анализа. Коэффициенты матрицы позволяют нам легко применять оператор к векторам с помощью умножения матрицы на столбец-вектор. Таким образом, оператор и матрица тесно связаны друг с другом, причем матрица представляет собой конкретное численное представление оператора. Оператор является самим линейным преобразованием, а матрица - его численным представлением. Жирным шрифтом обычно выделяют векторы и матрицы, чтобы их легче было узнать и различать от других математических объектов в тексте. Это помогает читателю быстрее ориентироваться в математических уравнениях и выражениях.
Оператор - вообще любая штука, которая как-то действует на объекты. Она ставит каждому входному элементу некий рузультирующий элемент. Функция, короче. Квадратный корень среди чисел, логарифм там же, поворот объектов на плоскости на 30 градусов по часовой стрелке, отражение относительно прямой - это все операторы.
Линейное преобразование - это конкретный тип операторов, который действует на элементы R^n и характирезуются тем, что они обладают свойством линейности (F(x+y) = F(x)+F(y), F(kx) = kF(x)).
Матрица - это математический объект.
Между матрицами и линейными операторами есть взаимнооднозначное соответствие. Домножение на матрицу - это линейное преобразование. Любому линейному преобразованию можно поставить в соответствие матрицу (посмотрев, как оно преобразует базисные вектора). Поэтому часто можно в литературе встретить, что матрицу называют оператором и наоборот.
Чем отличается оператор от матрицы в линейной алгебре?
Матрица - это матрица, вещь
Оператор - это преобразование, действие
Почему в одном случае жирным шрифтом написано, в другом обычным?
Скорее всего, чтобы подчеркнуть/выделить разницу, т.к. в первом случае используются векторы, а во втором - матрицы.
Вообще, подобные вещи лучше с помощью шрифтов для формул писать. Например, tex/latex.
Какая связь оператора, матрицы и линейного преобразования?
Оператор - это преобразование матрицы.
Есть линейный оператор, т.е. линейное преобразование - они синонимы в данном случае.
Этот оператор применяется к матрице.
Примеры нелинейных операторов - например, берешь корень от каждого элемента матрицы. Умножением это не представить.
Примеры линейных операторов - умножение матриц, например, на матрицу поворота
Мне в свое время это помогло разобраться - www.mathprofi.ru/linejnye_preobrazovanija.html