Как можно сгенерировать случайные числа, чтобы их распределение соответствовало заданной функции распределения и у них был определенный коэффициент корреляции?

Для генерации случайных чисел, удовлетворяющих заданной функции распределения, можно использовать метод обратной функции. Суть данного метода заключается в том, что для каждого случайного числа, сгенерированного из равномерного распределения на отрезке [0, 1], находится значение функции обратной к заданной функции распределения. Таким образом, полученные числа будут иметь распределение, соответствующее заданной функции. 

Для задания определенного коэффициента корреляции между сгенерированными случайными числами можно применить метод центрирования. Сначала генерируются случайные числа с нужным распределением, затем их центрируют (вычитают среднее) и масштабируют (делят на стандартное отклонение), чтобы получить нужную корреляцию между ними.

Для генерации случайных переменных с определенной функцией распределения и корреляцией между ними с использованием метода Монте-Карло можно использовать следующий алгоритм:

1. Сгенерировать два независимых случайных вектора из равномерного распределения.
2. Применить функцию обратной к заданной функции распределения к каждому из сгенерированных векторов, чтобы получить два вектора с нужным распределением.
3. Сгенерировать матрицу ковариации с нужным коэффициентом корреляции.
4. Получить два вектора случайных чисел с нужной корреляцией из сгенерированных векторов, учитывая матрицу ковариации.

Таким образом, можно сгенерировать случайные переменные с заданным распределением и корреляцией, используя метод Монте-Карло.

В общем случае все сложно и тут как с интегрированием надо подходить с воображением и изобретательностью. 
 
 Вообще, не для любых функций распределения можно получить любую корреляцию. Например, вы никак не сможете добиться полной (corr=1) корреляции равномерно распределенной величины и нормально распределенной величины. 
 
 Но, если функция для обеих величин одинаковая, то есть, например, такой способ: 
 1) Сгенерируйте случайную величину a согласно функции распределения. 
 2) C вероятностью k выдайте это же значение как и вторую переменную (b=a). 
 3) C вероятностью 1-k сгенерируйте случайную величину b согласно той же функции распределения. 
 
 Этот способ выдаст коэффициент корреляции k. Если нужна отрицательная корреляция, то можно выдать b=2Ea-a во втором шаге (отражение относительно матожидания). Но тогда в третьем шаге плотность распределения будет уже не такая же как у a. Если заданная функия распределения f(x), то там надо использовать g(x)=(f(x) -kf(2Ea-x))/(1-k). Суть в том, чтобы g(x)*(1-k)+k*f(2Ea-x) = f(x) - и итоговая плотность распределения будет одинаковая. 
 
 Этот способ даст заданную корреляцию, но может вам не подходить, потому что там куча исходов, где обе величины равны. 
 
 Другой вариант, сгенерировать случайную величину a ~ f(x), потом взять b = k*a+c, где c - это какая-то независимая случайная величина, распределенная как-то хитро (об этом ниже). Регулируя k можно получать разный уровень корреляции. Удобно работать уже с центрированными случайными величинами. Пусть Ea = Eb = Ec= 0. 
 
 Тогда коэффициент корреляции будет E((ka+c)a)/D(a) = (kEa^2+Eac)/D(a) = kE(a^2)/D(a) = k. Потому что a и c независимые случайные величины и Eac = Ea*Ec = 0*0. А D(a) = E(a^2)-Ea*Ea = E(a^2)-0*0. 
 
 Пусть функция распределения a и b - F(x) (плотность f(x)). Искомая функция для c - G(x) (плотность g(x)). 
 
 Надо будет решить интегральное уравнение: 
 Int -int..inf g(t)f((x-t)/k)/k dt = f(t) 
 
 Лучше всего это через преобразование лапласа это решать. Теоремму о свертке и свойство умножения на число примените.