Метод $request->accepts() в Laravel работает путем проверки, принимает ли сервер клиентские предпочтения в заголовке Accept запроса. Этот метод принимает один или несколько MIME-типов в качестве аргументов и возвращает true, если какой-либо из них соответствует предпочтениям клиента, иначе возвращает false.
По умолчанию метод $request->accepts() сравнивает MIME-типы, указанные в заголовке Accept запроса, с указанными в методе аргументами без учета структуры MIME-типа (например, можно указать 'application/json' или просто 'json'). Таким образом, если в заголовке запроса содержится 'application/json', метод $request->accepts('json') вернет true.
Критерий, который метод $request->accepts() применяет к MIME-типам, зависит от переданных ему аргументов. Если указан только один MIME-тип в виде строки, то метод просто проверит его наличие в заголовке Accept запроса. В случае, если указан массив MIME-типов, то будет проверено соответствие хотя бы одному из них.
Например:
```php
if ($request->accepts('application/json')) {
// some logic
}
```
Или:
```php
if ($request->accepts(['json', 'xml'])) {
// some logic
}
```
Таким образом, метод $request->accepts() очень удобен для проверки MIME-типов запроса и принятия решений на основе предпочтений клиента.