Что именно сделано неправильно?

Ошибка 'Connection' object does not support the context manager protocol происходит из-за того, что объект Connection в SQLite не поддерживает протокол менеджера контекста. Для исправления этой ошибки нужно использовать асинхронный контекстный менеджер `async with` для создания асинхронного подключения к базе данных SQLite.

Пример исправленного кода:

```python
import aiosqlite

async def connect_to_db():
    async with aiosqlite.connect("database.db") as db:
        cursor = await db.cursor()
        await cursor.execute("SELECT * FROM table_name")
        rows = await cursor.fetchall()
        print(rows)
``` 

Таким образом, используя `async with`, программист может правильно управлять асинхронным подключением к базе данных SQLite.

Если ты используешь aiosqlite, то нужно использовать async with, а не просто with.

В том, что метод aiosqlite.connect() возвращает объект, который с with использовать нельзя.