Как можно найти точку пересечения нормального вектора плоскости с другой плоскостью в типичной задаче?

Для нахождения точки пересечения нормали плоскости с другой плоскостью используются следующие шаги:

1. Уравнение нормали: Находим уравнение прямой, которая является нормалью к плоскости. Если плоскость задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0, то вектор (A, B, C) является нормальным вектором к этой плоскости. Уравнение прямой, проходящей через точку (x0, y0, z0) в направлении вектора (A, B, C), будет:
x = x0 + At
y = y0 + Bt
z = z0 + Ct
где t — параметр.

2. Уравнение второй плоскости: Записываем уравнение плоскости, с которой нормаль должна пересечься. Если эта плоскость параллельна другой заданной плоскости, то уравнения плоскостей будут иметь одинаковые коэффициенты при x, y и z, однако отличаться свободным членом.

3. Подстановка: Подставляем параметрические уравнения нормали (полученные на первом шаге) в уравнение второй плоскости и решаем полученное уравнение относительно параметра t.

4. Нахождение точки пересечения: После нахождения значения для параметра t, подставляем его обратно в параметрические уравнения нормали, чтобы найти координаты точки пересечения.

Что касается второй части вопроса о поиске точки пересечения нормали плоскости (заданной векторным параметрическим уравнением), проходящей через точку, с плоскостью, параллельной другой заданной плоскости и проходящей через три другие точки, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Написать уравнение нормали, исходя из векторного параметрического уравнения плоскости. Так как нормаль лежит в данной плоскости, уравнение нормали будет выходить из направляющего вектора этой плоскости.

2. Определить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Это можно сделать, найдя нормальный вектор к этой плоскости через векторное произведение двух векторов, определенных этими тремя точками, а затем применив точечное произведение для определения уравнения плоскости.

3. Так как плоскость параллельна другой заданной плоскости, коэффициенты при x, y, и z в уравнении этой плоскости будут одинаковыми с коэффициентами в уравнении заданной плоскости.

4. Решить систему уравнений, полученную на шагах 1 и 2, чтобы найти пересечение, т.е. точку, в которой нормаль пересекает плоскость.

Альтернативные методы нахождения точки пересечения включают численные методы и использование графических инструментов. однако эти методы менее точны и используются, как правило, для предваритель

Как найти плоскость для которой нам и нужно найти точку

 Это называется декомпозировать задачу (декомпозиция), т.е. разбить её на части, так чтобы было более-менее понятно, как решать каждую отдельную часть. 
 
 
и плоскости, проходящей через точку пересечения плоскостей с уравнениями 5x^1 - 3x^2 <-x^3 = 0, x^1 + 2x^2 + 3x^3 = 14, x^1 + x^2 + x^3 = 16 параллельно плоскости, проходящей через три точки M1(-9; 10; 2), M2(4; 8; -1), M3(-2; 1; 3). 
 
 1. Взять любые две из трёх пересекающихся плоскостей, определить уравнение прямой, по которой они пересекаются; 
 2. Взять третью плоскость и взять прямую из предыдущего шага, найти точку их пересечения; 
 3. В формате x=x0+t1*a1+t2*a2 очень легко найти уравнение плоскости, проходящей через три точки: x0 = M1, a1= M2-M1, a2=M3-M1; 
 4. Из точки с шага 2 опустить нормаль на плоскость с шага 3; построить плоскость из точки с шага 2 с этим же вектором нормали - это и есть плоскость, про которую вы спрашиваете. 
 
Я понимаю, что мы легко можем найти нормальный вектор плоскости путем N = [a1 , a2]
 И ещё один вопрос (как любил говорить лейтенант Коломбо)... Не забыть, что N = [a1 , a2] должен быть построен из точки x0, что в сущности даёт нам не просто вектор, а уравнение прямой. И эту прямую мы в конце концов пересечём с плоскостью из шага 4 и получим точку их пересечения. Та-а-да-ам!