Чтобы доказать линейную зависимость системы векторов, нужно показать, что существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору (то есть нулевому многочлену). В контексте многочленов это означает, что можно подобрать такие коэффициенты \( a, b, c \), не все равные нулю, что выполняется равенство:
\[ a(2x-4) + b(2x^2 + x) + c(x^2 - x + 3) = 0 \]
Нужно разложить данное равенство по степеням \( x \) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях с обеих сторон равенства (слева и справа).
\[ 2ax + b2x^2 + bx + cx^2 - cx + 3c - 4a = 0 \]
Группируем одинаковые степени \( x \):
\[ (2b + c)x^2 + (2a + b - c)x + (3c - 4a) = 0 \]
Для того чтобы многочлен был равен нулевому многочлену, все коэффициенты при степенях \( x \) должны равняться нулю:
\[ \left\{\begin{matrix}
2b + c = 0 \\
2a + b - c = 0 \\
3c - 4a = 0
\end{matrix}\right. \]
Решение этой системы даст нам значения коэффициентов \( a, b, c \), доказывающие линейную зависимость. Найдем эти коэффициенты:
1) Из первого уравнения \( c = -2b \).
2) Подставляем \( c \) в третье уравнение: \( 3(-2b) - 4a = 0 \) или \( -6b - 4a = 0 \).
3) Из этого уравнения выражаем \( a \) через \( b \): \( a = -\frac{6b}{4} = -\frac{3b}{2} \).
Теперь можно подставить найденные \( c \) и \( a \) во второе уравнение системы:
2a + b - c = 0
\(-3b + b + 2b = 0\),
\(0 = 0\).
Мы видим, что второе уравнение автоматически удовлетворяется при любом значении \( b \) (если значения для \( a \) и \( c \) были подобраны правильно из других уравнений системы), следовательно, система векторов линейно зависима, так как у нас есть бесконечное множество решений (кроме тривиального \( a = b = c = 0 \)).
Выберем \( b = 2 \) для простоты (это произвольный выбор, не равный нулю, чтобы решение не было тривиальным):
\( c = -2b = -2 \times 2 = -4 \)
\( a = -\frac{3b}{2} = -\frac{3 \times 2}{2} = -3 \)
Таким образом, со значениями \( a = -3 \), \( b = 2 \), \( c = -4 \), мы получаем ненулевую линейную комбинацию, равную нулю, для данной системы векторов:
\[ -3(2x-4) + 2(2x^2 + x) - 4(x^2 - x + 3) = 0 \]