Как изменятся пределы суммирования при удвоении суммы?

Из вашего вопроса немного сложно определить контекст, в котором вы спрашиваете о удвоении суммы, так как математические задачи могут быть различными, и "удвоение суммы" может иметь множество значений. Если ваш вопрос касается удвоения суммы элементов последовательности, то пределы суммирования могут измениться в зависимости от контекста задачи.

Однако я попытаюсь объяснить общий принцип удвоения суммы через пример:

Представьте, что у нас есть сумма первых n членов арифметической прогрессии:

S = a_1 + a_2 + ... + a_n.

Если мы хотим удвоить эту сумму, мы можем просто написать:

2S = 2*(a_1 + a_2 + ... + a_n) = (a_1 + a_1) + (a_2 + a_2) + ... + (a_n + a_n).

Таким образом, пределы суммирования останутся теми же (от 1 до n), но каждый член суммы удвоится.

Если же у нас задача удвоить сумму, добавив к уже существующей сумме ещё одну такую же сумму, но с измененными пределами, то это уже другая ситуация. Например, если мы хотим удвоить сумму, суммируя те же значения, но за другой диапазон, вам нужно добавить ещё одну такую же последовательность к уже существующей:

S' = S + (a_1' + a_2' + ... + a_m').

В этом случае пределы и количество членов в новой сумме S' могут быть другими (от 1 до m), в зависимости от новых условий задачи.

Если у вас есть конкретный пример из книги "Конкретная математика" или предыдущий пример, который вызывает недопонимание, пожалуйста, приведите его, чтобы я мог точнее ответить на ваш вопрос.

Что означает вот эта первая надпись с одним знаком суммы? Там же 2 переменные в условии - j и k! Эта надпись означает сумму по всем значениям j и k, т.ч. 1 <= j < k+j <= n . Это множество допустимых значений можно представить как какую-то фигуру на плоскости. 
 Ее можно описать вот этими неравенствами, а можно перебрать все допустимые значения j, для каждого из них посмотреть, какие значения k попадают в искомое множество. Вот так и получаются 2 суммы, одна по j, другая по k. 
 k не может быть меньше 1 (Видимо, по условию раньше) и больше n, потому что иначе k+j превзойдет n. Зафиксировав k, остаются 2 условия 1 <= j и k+j <= n. ведь j < k+j всегда. Из этих двух условий получаем границы суммирования на j.