Для нахождения экстремумов функции двух переменных z = f(x, y) сначала нужно найти её стационарные точки. Стационарные точки — это точки, в которых частные производные функции по всем её переменным обращаются в ноль.
1. Найдем частные производные первого порядка функции z по переменным x и y:
∂z/∂x = 3x^2 - 3y,
∂z/∂y = 3y^2 - 3x.
2. Приравниваем найденные производные к нулю для нахождения стационарных точек:
3x^2 - 3y = 0,
3y^2 - 3x = 0.
Решим систему уравнений:
x^2 - y = 0,
y^2 - x = 0.
Из первого уравнения выразим y через x:
y = x^2.
Подставим значение y во второе уравнение:
(x^2)^2 - x = 0,
x^4 - x = 0,
x(x^3 - 1) = 0,
x(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0.
Это уравнение имеет корни: x = 0 и x = 1 (уравнение x^2 + x + 1 = 0 не имеет действительных корней).
3. Найдем соответствующие значения y для каждого из корней x:
Для x = 0: y = 0^2 = 0.
Для x = 1: y = 1^2 = 1.
Таким образом, у нас есть две стационарные точки: (0, 0) и (1, 1).
4. Для классификации этих стационарных точек и определения, являются ли они точками экстремума, нужно найти частные производные второго порядка и проверить знак определенного дифференциала в каждой из стационарных точек.
∂²z/∂x² = 6x,
∂²z/∂y² = 6y,
∂²z/∂x∂y = -3.
5. Вычисляем детерминант Гессе (D):
D(x, y) = (∂²z/∂x²) (∂²z/∂y²) - (∂²z/∂x∂y)².
Проверим знак D в каждой стационарной точке:
D(0, 0) = (6 * 0) * (6 * 0) - (-3)² = -9 < 0,
D(1, 1) = (6 * 1) * (6 * 1) - (-3)² = 36 - 9 = 27 > 0.
Если D > 0 и ∂²z/∂x² > 0, то в точке минимум. Если D > 0 и ∂²z/∂x² < 0, то в точке максимум. Если D < 0, точка является седловой, то есть в ней нет ни максимума, ни минимума.
Таким образом:
Для точки (0, 0) получаем D(0, 0) < 0, это означает, что точка (0, 0) является седловой точкой.
Для точки (1, 1) получаем D(1, 1) > 0 и ∂²z/∂x²(1, 1) = 6 > 0, что указывает на наличие локального минимума функции в этой точке.
Итак, функция z = x^3 + y^3 - 3xy имеет седловую точку в (0, 0