Для решения задачи, связанной с вариационным исчислением, обычно используются методы оптимизации или поиск экстремумов функций. В данном случае, у нас нет функционала, а просто функция двух переменных, и требуется найти минимум этой функции.
Функция имеет вид:
\[ z = x^2 + 2x + y^2 + 2y \]
Чтобы найти точку минимума этой функции, нам нужно рассмотреть ее частные производные по каждой из переменных и приравнять их к нулю, чтобы найти критические точки:
\[
\begin{align*}
\frac{\partial z}{\partial x} &= 2x + 2 = 0 \\
\frac{\partial z}{\partial y} &= 2y + 2 = 0
\end{align*}
\]
Решим эти уравнения:
\[
\begin{align*}
2x + 2 &= 0 \Rightarrow x = -1 \\
2y + 2 &= 0 \Rightarrow y = -1
\end{align*}
\]
Таким образом, единственная критическая точка - это (-1, -1).
Теперь нам необходимо проверить, является ли эта точка минимумом. Для этого можно использовать второй дифференциал функции (или матрицу Гессе). Вторые производные:
\[
\begin{align*}
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &= 2, \\
\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} &= 2, \\
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} &= 0.
\end{align*}
\]
Так как вторые производные по x и по y положительны и не зависят от x и y, а смешанная производная равна нулю, то матрица Гессе всюду положительно определена, и функция имеет минимум в этой точке.
Таким образом, минимум функции z достигается в точке (-1, -1). Теперь подставим значения x = -1 и y = -1 в функцию, чтобы найти значение минимума:
\[
z = (-1)^2 + 2(-1) + (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 + 1 - 2 = -2
\]
Итак, минимальное значение функции равно -2, и оно достигается в точке (-1, -1).
Отмечу, что хотя в задании указано, что требуется найти минимум функции в точке (x0 = 0, y0 = 0), эта точка, в действительности, не является минимумом, так как мы нашли более низкое значение функции в точке (-1, -1). Возможно, в задании имелось в виду, что функция должна быть рассмотрена в окрестности точки (0, 0), но минимум все равно будет в точке (-1, -1).