Чтобы завершить квадрат для уравнения вида \( ax^2 + bx + c \), мы выполняем следующие шаги:
1. Выносим коэффициент при \( x^2 \) за скобки (если он отличен от 1).
2. В скобках оставляем члены, связанные с \( x \), и делаем место для добавления и вычитания недостающего квадрата.
3. Добавляем и вычитаем в скобке выражение \( (\frac{b}{2a})^2 \), чтобы получить полный квадрат.
4. Вносим вне скобки вычитаемое выражение, умноженное на коэффициент при \( x^2 \).
5. Приводим общий член к стандартному виду квадрата суммы или разности \( (x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2 \) или \( (x - d)^2 = x^2 - 2dx + d^2 \).
Применительно к уравнению \( 4x^2 - y^2 + 8x - 2y + 3 = 0 \), давайте завершим квадрат:
1. Группируем члены с одинаковыми переменными и выносим коэффициенты за скобки:
\[ 4(x^2 + 2x) - (y^2 + 2y) + 3 = 0 \]
2. Добавляем и вычитаем недостающие квадраты в скобках:
\[ 4\left(x^2 + 2x + \left(\frac{2}{2}\right)^2 - \left(\frac{2}{2}\right)^2\right) - \left(y^2 + 2y + \left(\frac{2}{2}\right)^2 - \left(\frac{2}{2}\right)^2\right) + 3 = 0 \]
3. Вычисляем квадраты:
\[ 4((x + 1)^2 - 1^2) - ((y + 1)^2 - 1^2) + 3 = 0 \]
4. Раскрываем скобки:
\[ 4(x + 1)^2 - 4 - (y + 1)^2 + 1 + 3 = 0 \]
5. Приводим уравнение к упрощенному виду:
\[ 4(x + 1)^2 - (y + 1)^2 - 4 + 1 + 3 = 0 \]
\[ 4(x + 1)^2 - (y + 1)^2 = 0 \]
Теперь у нас есть уравнение в виде разности квадратов. Это уравнение можно трактовать как уравнение гиперболы, центр которой смещен в точку (-1, -1).
Для построения графика этой кривой можно выполнить следующие шаги:
1. Определить центр гиперболы.
2. Найти асимптоты (в данном случае они будут пересекаться в центре и иметь углы \( 45^\circ \) и \( 135^\circ \) относительно осей).
3. Определить вершины гиперболы, исходя из коэффициентов при квадратах, и нарисовать ветви гиперболы, приближаясь к асимптотам, но не пересекая их.
Построение графика обычно выполняется с помощью графопостроителя или компьютерного софта, который позволяет задать кривую в параметрической форме и визуализировать её.