Как проверить, содержит ли один элемент другой элемент в JavaScript?

Для проверки содержится ли один элемент в другом элементе в JavaScript можно использовать метод contains(). Например:

```javascript
if (element1.contains(element2)) {
  // код для случая, когда элемент1 содержит элемент2
} else {
  // код для случая, когда элемент1 не содержит элемент2
}
```

Для обеспечения скрытия или отображения элемента в зависимости от того, пуст ли див span с классом "first_size" в каждом итеме в мини-корзине, можно использовать следующий скрипт:

```javascript
var items = document.querySelectorAll('.item');
items.forEach(function(item) {
  var span = item.querySelector('.first_size');
  if (!span.textContent.trim()) {
    item.style.display = 'none';
  } else {
    item.style.display = 'block';
  }
});
```

Возможно, проблема в том, что ваш текущий скрипт не пересматривает элементы при изменении содержимого дива span. Для этого можно использовать событие, например, добавить обработчик для события изменения содержимого дива span:

```javascript
items.forEach(function(item) {
  var span = item.querySelector('.first_size');
  span.addEventListener('change', function() {
    if (!span.textContent.trim()) {
      item.style.display = 'none';
    } else {
      item.style.display = 'block';
    }
  });
});
```

Такой подход позволит вашему скрипту реагировать на изменения в содержимом дива span и скрывать или отображать элементы в зависимости от этого.

Немного неправильно сделан код JS 
 
 Исправлено: 
 
 
 Отсутствует перебор документов и просто нечего записывать, если что то не так, жду исправление в исправлениях. 
 Т.к нету всего кода я не могу полноценно ответить.