Я правильно вычислил y, где y=ln(x)?

Значение натурального логарифма числа 2, вычисленное с использованием моего алгоритма, равно приблизительно 0.69314718056.

Неверно. 
 1. Вы неправильно вычисляете следующий член суммы. Вместо i в знаменателе вы получаете i! 
 2. Условие if x < 0: у вас никогда не сработает