Как преобразовать базис векторного пространства, чтобы он стал ортонормированным?

Чтобы преобразовать базис векторного пространства так, чтобы он стал ортонормированным, используют процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Этот метод последовательно превращает имеющийся набор векторов в ортонормированный базис без изменения подпространства, которое они охватывают.

Процедура Грама-Шмидта включает следующие шаги:

1. Выбирается первый вектор \( \mathbf{u}_1 \) базиса и нормируется, чтобы получился первый вектор \( \mathbf{e}_1 \) нового ортонормированного базиса:
   \[
   \mathbf{e}_1 = \frac{\mathbf{u}_1}{\| \mathbf{u}_1 \|}
   \]

2. Следующий вектор \( \mathbf{u}_2 \) проектируется на \( \mathbf{e}_1 \), и проекция вычитается из \( \mathbf{u}_2 \), чтобы получить вектор, ортогональный \( \mathbf{e}_1 \):
   \[
   \mathbf{v}_2 = \mathbf{u}_2 - \text{proj}_{\mathbf{e}_1}\mathbf{u}_2,
   \]
   где \( \text{proj}_{\mathbf{e}_1}\mathbf{u}_2 \) – проекция \( \mathbf{u}_2 \) на \( \mathbf{e}_1 \).

   Потом вектор \( \mathbf{v}_2 \) нормируется, чтобы получился второй ортонормированный вектор \( \mathbf{e}_2 \):
   \[
   \mathbf{e}_2 = \frac{\mathbf{v}_2}{\| \mathbf{v}_2 \|}
   \]

3. Эти шаги повторяются для всех оставшихся векторов базиса. Каждый следующий вектор \( \mathbf{u}_k \) ортогонализуется относительно всех уже получившихся ортонормированных векторов \( \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, ..., \mathbf{e}_{k-1} \), а затем нормируется.

По отношению к вопросу о проблеме с нахождением собственных значений и уравнении \( -h^3 + 4h^2 - 5h + 1 \), способ преобразование базиса, описанный выше, не зависит от собственных значений. Также стоит заметить, что процесс ортогонализации Грама-Шмидта выполняется для любых базисов векторных пространств и не требует нахождения собственных значений матрицы.

Если ваша задача состоит в нахождении собственных значений и возникли проблемы с решением данного уравнения, вы можете использовать численные методы, такие как метод Ньютона (метод касательных), чтобы найти его корни, если это уравнение не может быть легко решено аналитически. Собственные значения применяются для различных целей, включая, например, диагонализацию матрицы.