Какую альтернативу можно использовать вместо require, чтобы оно выполнялось в браузере?

Для использования модулей вместо require в браузере, можно использовать инструменты сборки, такие как Babel, Webpack или Browserify.

Чтобы изменить использование require в константах axios и cheerio для работы в браузере, можно использовать их ES модули. 

Вместо строки require('axios'), вы можете использовать import axios from 'axios'.
Аналогично, вместо строки require('cheerio'), вы можете использовать import cheerio from 'cheerio'.

Итоговый код будет выглядеть следующим образом:

import axios from 'axios';
import cheerio from 'cheerio';

const parse = async () => {
    const getHTML = async (url) => {
        const { data } = await axios.get(url);
        return cheerio.load(data);
    };

    const $ = await getHTML("https://rozetka.com.ua/search/?text=%D0%B7%D0%B0%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BD%D0%B0+%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8F&section_id=4674585");
    const pageNumber = parseInt($('a.pagination__link').eq(-1).text());

    for (let i = 1; i <= pageNumber; i++) {
        const selector = await getHTML(
            `https://rozetka.com.ua/search/?text=%D0%B7%D0%B0%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BD%D0%B0+%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%86%D1%96%D1%8F&section_id=4674585&page=${i}`
        );
        selector('.catalog-grid__cell').each((index, element) => {
            const title = selector(element).find('.goods-tile__title').text();
            console.log(title, link);
        });
    }
};

parse();

Библиотеки должны быть загружены раньше Вашего скрипта.