Для решения этой задачи без использования правила Лопиталя можно воспользоваться рядами Маклорена и свойствами тригонометрических функций.
Сначала найдем ряд Маклорена для функции arccos(x):
arccos(x) = π/2 - x - x^3/6 - x^5/40 - x^7/112 - ...
Теперь заметим, что arccos^2(x) = (π/2 - x - x^3/6 - x^5/40 - x^7/112 - ...)^2.
Раскроем квадрат и оставим только слагаемые до x^2:
arccos^2(x) ≈ π^2/4 - πx + (x^2)/3.
Теперь найдем ряд Маклорена для функции (1-x):
(1-x) = 1 - x.
Заметим, что предел функции arccos^2(x) / (1-x) при x, стремящемся к 1 с левой стороны, равен пределу (π^2/4 - πx + (x^2)/3)/(1-x) при x, стремящемся к 1 с левой стороны. Этот предел можно найти, подставляя ряды Маклорена вместо функций:
lim(x→1-) [(π^2/4 - πx + (x^2)/3)/(1-x)]
= lim(x→1-) [(π^2/4 - πx + (x^2)/3) / (1 - x)]
= lim(x→1-) [(π^2/4 - πx + (x^2)/3)(1 - x)^-1].
Теперь найдем предел каждого слагаемого в получившемся выражении по отдельности:
lim(x→1-) (π^2/4 - πx + (x^2)/3) = π^2/4 - π + 1/3
lim(x→1-) (1 - x)^-1 = 1.
Таким образом, предел функции arccos^2(x) / (1-x) при x, стремящемся к 1 с левой стороны, равен:
(π^2/4 - π + 1/3) * 1 = π^2/4 - π + 1/3.