Чтобы добавить поддомен через Cloudflare, вам не нужно ничего менять в записях для основного домена "site.com" и "www". Для поддомена достаточно создать новую запись типа CNAME или A (в зависимости от настроек вашего сервера) и указать на IP-адрес или доменное имя вашего поддомена.
Когда создаете запись для поддомена в панели управления Cloudflare, в поле "название" или "имя" укажите имя вашего поддомена, например "subdomain". В поле "значение" укажите IP-адрес или доменное имя вашего поддомена.
Что касается файла hosts, вам не нужно добавлять записи для поддомена там, если все настройки DNS провайдера (в данном случае Cloudflare) корректно настроены. Убедитесь, что у вас только записи для основного домена и поддомена в файле hosts, без дублирования записей или конфликта имен.
Если только поддомен работает, а основной домен недоступен, возможно проблема связана с настройками DNS или сервера хостинга. Рекомендуется связаться со службой поддержки Cloudflare или вашего хостинг-провайдера для решения проблемы.