Для того чтобы убедиться, что два множества являются равномощными, можно воспользоваться теоремой Шрёдера—Бернштейна или предъявить непосредственное соответствие (биекцию) между элементами этих множеств.
Теорема Шрёдера—Бернштейна:
Если существуют инъекции (т. е. отображения, сохраняющие различие) от одного множества в другое и обратно, то эти два множества равномощны.
То есть для доказательства равномощности множества отрезка {x ∈ R | 0 <= x <= 1} и множества интервала {x ∈ R | 0 < x < 1} с числовой прямой R, нужно предъявить два инъективных отображения:
- Отображение от отрезка на числовую прямую: f(x) = x, где x принадлежит отрезку [0, 1].
- Отображение от числовой прямой на интервал: g(x) = x, где x принадлежит интервалу (0, 1).
Таким образом, мы видим, что отрезок {x ∈ R | 0 <= x <= 1} и интервал {x ∈ R | 0 < x < 1} равномощны числовой прямой R.